文章摘要：复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根），复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 ...

【编者按】复数是高中数学才接触到的内容，它让我们认识到-1也是可以开平方的，开阔了我们的数学视野，下面我们就来看看复数这一部分涉及到的知识和概念。

复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根），复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的定义

形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i²=i*i=-1（a，b是任意实数），我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部，记作Rez=a，实数b称为复数z的虚部，记作Imz=b.

已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数；当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数模的定义

定义：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣，即对于复数z=a+bi，它的模∣z∣=√（a²+b²）。

复数模的计算方法

（1）利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题；

（2）考虑复数的几何意义，转化为复平面上的几何问题；

（3）化为实数范围内的最值问题，或利用基本不等式；

（4）转化为函数的最值问题。

复数的大小关系

复数无法比较大小，即两个复数只有相等和不等两种等量关系。

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的，就是说，a+bi=c+di当且仅当a=c并且b=d.

共轭复数

定义：对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数。复数z的共轭复数记作zˊ，表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。

根据定义，若z=a+bi（a，b∈R），则zˊ=a-bi（a，b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。如果用Z表示X+Yi，那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi，或相反。

共轭复数的性质

（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱

（2）（x+yi）*（x-yi）=x²+y²=︱x+yi︱²=︱x-yi︱²

复数四则运算法则

若复数z₁=a+bi，z₂=c+di，其中a，b，c，d∈R，则

z₁±z₂=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i，

（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，

（a+bi）÷（c+di）=（ac+bd）/（c²+d²）+（bc-ad）i/（c²+d²）

其实两复数相除，完全可以转化为两复数相乘：（a+bi）÷（c+di）=（a+bi）/（c+di），此时分子分母同时乘以分母c+di的共轭复数c-di即可。

虚数单位i的乘方

i^（4n+1）=i，i^（4n+2）=-1，i^（4n+3）=-i，i⁴ⁿ=1（其中n∈Z）

附注：对复数起源感兴趣的读者请参见数系理论的历史发展之复数的扩张。