高中数学必修三教案：1.9最小二乘估计

教学目标：

1、掌握最小二乘法的思想

2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程

教学重点：最小二乘法的思想

教学难点：线性回归方程系数公式的应用

教学过程

回顾：上节课我们讨 论了人的身高与右手 一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。

问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?

想法：保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。

最小二乘法就是基于这种想法。

问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?

设直线方程为y=a+bx，样本点A(xi，yi)

方法一、点到直线的距离公式

方法二、

显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表 示二者之间的接近程度。

问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?

例 如有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，( x4，y4)，(x5，y5)与直线y=a+bx的接近程度：

从而我们可以推广到n个样本点：(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)与直线y=a+bx的接近程度：

使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法

问题4、怎样使 达到最小值?

先来讨论3个样本点的情况

设有3个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：

…………………①

整理成为关于a的一元二次函数 ，如下所示：

利用配方法可得

从而当 时，使得函数 达到最小值。

将 代入①式，整理成为关于b的一元二次函数 ，

同样使用配方法可以得到，当

时，使得函数 达到最小值。

从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。

用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程 的系数：

其中 由 我们知道线性回归直线y=a+ bx一定过 。

例题与练习

例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表气温(xi) /oC261813104-1

杯数(yi)/杯202 434385064

(1) 试用最小二乘法求出线性回归方程。

(2) 如果某天的气温是-3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。

解：(1)先画出其散点图

ixiyixi2xiyi

21824324432

31334169442

41038100380

545016200

6-1641-64

合计7023012861910

可以求得 则线性回归方程为

y =57.557-1.648x

(2)当某天的气温是-3 oC时，卖出热茶的杯数估计为：

练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )

y1357

(A)(2，2) (B)(1.5，0) (C)(1，2) (D)(1.5，4)

练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

商店名称ABCDE

销售额(x)/千万元356 79

利润额(y)/百万元23345

(1) 画出销 售额和利润额的散点图;

(2) 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。

解：(1)

(2)数据如下表：

13296

2532515

3633618

47 44928

5958145

合计3017200112

可以求得b=0.5，a=0.4

线性回归方程为： 小结

1、 最小二乘法的思想

2、 线性回归方程的系数：

作业：P60 习题1-8 第1题